Investigadores han identificado obstáculos fundamentales en la inversión de transformaciones conformes dependientes de la curvatura, un tipo de reescalado de la métrica espaciotemporal que juega un papel crucial en teorías de gravedad modificada. Estas transformaciones, como $\widetilde g_{\mu\nu}=F(R[g])g_{\mu\nu}$ donde $F>0$ y $F_R\neq0$, se utilizan para relacionar diferentes "marcos" o representaciones de la gravedad, como el marco de Jordan y el marco de Einstein. El estudio revela que, aunque la transformación directa es local, su inversión no lo es de manera genérica, lo que tiene implicaciones significativas para la equivalencia de marcos a nivel cuántico y en la formulación de acciones efectivas.

El problema central radica en que la recuperación de la métrica original a partir de la transformada requiere una restricción diferencial. La aplicación inversa de la tangente métrica contiene un proyector no polinómico, lo que implica que no existe una inversa diferenciable de "jet finito" (una fórmula que involucre un número finito de derivadas en el mismo punto) en un conjunto abierto de métricas no restringidas. Esto significa que, a diferencia de las transformaciones conformes estándar, no se puede simplemente invertir la relación punto a punto. Sin embargo, se sugiere que pueden existir inversas funcionales por ramas si se especifican datos de contorno o de Cauchy.

El trabajo utiliza la gravedad $f(R)$ como un ejemplo explícito, donde su representación escalar-tensorial local en el marco de Einstein actúa como una teoría "parent". La descripción puramente métrica en el lado de Einstein, sin embargo, requiere una sección diferencial gobernada por un operador normal. Los autores derivan el Hessiano clásico "pull-back" y su término de incrustación "off-shell", y en el modelo cuadrático, demuestran cómo la eliminación gaussiana restringida produce el núcleo no local del escalarón, el determinante normal correspondiente para la medida mostrada, y la condición de compatibilidad de los modos cero. Estos hallazgos proporcionan un marco preciso para evaluar las transformaciones de marcos dependientes de la curvatura en la gravedad modificada y aclaran sus implicaciones para las acciones efectivas, los análisis semiclasicos y la equivalencia de marcos cuánticos.