Investigadores han desarrollado un generador de soluciones exactas para la gravedad de Einstein acoplada a modelos sigma no lineales en dimensiones D>3. Este método se basa en las transformaciones de Buchdahl, que permiten derivar soluciones con campos escalares a partir de espaciotiempos de vacío. La técnica reformula este mecanismo para producir una fuente de Ricci exacta, $R_{AB}=C_D(\beta)\partial_A\Sigma\partial_B\Sigma$, donde $\Sigma$ es un potencial de Buchdahl que permanece armónico en la métrica deformada.

El proceso implica identificar en una región conectada de un espaciotiempo semilla Ricci-plano una coordenada cíclica no nula, ortogonal a una hipersuperficie y con norma de signo fijo. El logaritmo de esta norma define el potencial $\Sigma$. Una redistribución monoparamétrica de la norma cíclica genera la fuente de Ricci. Al componer $\Sigma$ con una geodésica parametrizada afínmente de una métrica objetivo no degenerada, cuya velocidad al cuadrado es $C_D(\beta)$, se obtiene una solución exacta del modelo de Einstein-sigma. Para objetivos definidos positivos, esto implica que el mapa escalar no trivial tiene una imagen unidimensional.

Este generador unificado ha sido ilustrado con diversos objetivos (planos, esféricos, hiperbólicos y axión-dilatón) y con una amplia gama de espaciotiempos semilla, incluyendo los de Tangherlini, Weyl, Kasner, ondas de Rosen, Gowdy, burbujas de Kaluza-Klein y métricas C. La construcción permite separar claramente la fuente geométrica de Buchdahl de su realización en el espacio objetivo, extendiendo este sector cíclico de rango uno a geometrías estáticas, cosmológicas, de ondas y aceleradas. Además, a través de la correspondencia entre los marcos de Einstein y Jordan, el método también proporciona soluciones de vacío con tensores y multiescalares.