Un reciente estudio ha explorado la topología del conjunto de estados entrelazados bipartitos, $\mathsf E$, que operan en el espacio de Hilbert $\mathbb{C}^{n_1}\otimes\mathbb{C}^{n_2}$. Los investigadores han demostrado que este conjunto es conexo por caminos en todas las dimensiones, y simplemente conexo excepto en el caso particular de dos cúbits. Este avance proporciona una comprensión más profunda de la estructura matemática del entrelazamiento, un recurso fundamental en la computación y la información cuánticas.

Para el caso excepcional de dos cúbits, el conjunto $\mathsf E$ resulta ser homotópicamente equivalente al conjunto de estados máximamente entrelazados, que a su vez es homeomorfo a $\mathbb{RP}^3$. Los autores han calculado la homología completa tanto del cierre como del interior de $\mathsf E$ en esta configuración. En dimensiones superiores, se ha demostrado que los grupos de homología y homotopía de $\mathsf E$ se anulan en grados $1\leq k\leq 2(n_1-1)(n_2-1)-2$, y todos los grupos de homología de grado $k\geq (n_1n_2)^2-3$ también se anulan. Este rango está controlado por el espacio $\mathsf W$ de los testigos de entrelazamiento, que se muestra altamente conexo más allá de dos cúbits y homotópicamente equivalente a $\mathsf E$.

A pesar de estos resultados de anulación, el estudio revela que $\mathsf E$ posee una homología reducida no trivial sobre cada campo para todos los $n_1, n_2 \geq 2$. Esto se ha determinado calculando la característica de Euler mediante un argumento de punto fijo de acción de toro, junto con la dualidad de Alexander. Estos hallazgos son cruciales para entender la complejidad del entrelazamiento cuántico y podrían tener implicaciones en el desarrollo de futuras tecnologías cuánticas, al proporcionar herramientas matemáticas más robustas para clasificar y manipular estados entrelazados.