Investigadores han desarrollado un método exacto para calcular la complejidad de Krylov, también conocida como complejidad de propagación (spread complexity), para estados cuánticos que son transformaciones polinómicas de un estado inicial. Esta complejidad es una propiedad conjunta del hamiltoniano del sistema y del estado inicial, y su cálculo suele requerir la generación de una nueva base de Krylov para cada estado. El nuevo enfoque permite determinar cómo cambia la complejidad cuando el estado inicial se modifica mediante un filtro polinómico, sin necesidad de repetir el costoso proceso de Lanczos en el espacio de Hilbert original.

El método aborda el problema de los estados iniciales relativos para filtros polinómicos normalizados de la forma $\ket{\psi_Q}=Q(H)\ket{K_0}/\sqrt{N_Q}$, donde $Q(H)$ es un polinomio del hamiltoniano $H$ y $\ket{K_0}$ es el estado inicial. La clave reside en cómo el filtrado polinómico modifica la medida espectral, transformando el problema en una transferencia de banda finita de momentos de polinomios ortogonales de Fourier a amplitudes de Krylov desplazadas. Han derivado sumas finitas exactas para las amplitudes individuales y núcleos de Christoffel-Darboux proyectados para probabilidades acumuladas y la complejidad de propagación.

Las fórmulas desarrolladas son robustas, cubriendo casos como raíces confluentes, coeficientes semilla complejos, pérdida de soporte y cocientes terminales en dimensiones finitas. El equipo ha validado su construcción en tres familias canónicas de Jacobi: el oscilador de Heisenberg-Weyl/Charlier, el espín compacto SU(2)/Krawtchouk y la cadena de enlace fuerte/Chebyshev de coeficiente constante. También se ha incluido una escala de límite central de Hermite de Charlier para verificar la maquinaria de salto de Christoffel en un espectro continuo. Este marco proporciona un cálculo relativo exacto, generando una familia de dinámicas de estados iniciales relacionadas polinómicamente a partir de un único problema cíclico resuelto.

Este avance es significativo para el estudio de la dinámica cuántica y la información en sistemas complejos, incluyendo agujeros negros y modelos de muchos cuerpos, donde la complejidad de Krylov es una métrica importante para caracterizar el crecimiento de la información. La capacidad de calcular eficientemente la complejidad para una familia de estados relacionados simplifica el análisis de cómo las perturbaciones o transformaciones afectan la evolución de la complejidad, abriendo nuevas vías para entender la termalización y la formación de agujeros negros en el contexto de la teoría de cuerdas y la gravedad cuántica.