Investigadores han desarrollado dos algoritmos cuánticos que establecen la complejidad de consulta óptima para la preparación de estados fundamentales de un hamiltoniano. Estos algoritmos son capaces de preparar un estado cuántico con una distancia de traza ε del estado fundamental, asumiendo que se conoce un umbral de energía en la brecha espectral. Esta brecha, Δ, se define como la energía mínima que separa el estado fundamental de los estados excitados, y la preparación del estado se basa en un oráculo que genera un estado con un solapamiento γ con el estado fundamental.

Los algoritmos propuestos utilizan un número de llamadas a un oráculo de hamiltoniano U_H que escala como O((α/Δ)(γ⁻¹+log(1/ε))) en el caso esperado y O((α/(γΔ))log(1/ε)) en el peor de los casos, donde α es una medida de la complejidad de la codificación del hamiltoniano. Se ha demostrado que estas cotas son óptimas, igualando los límites inferiores teóricos. Para las llamadas al oráculo de preparación de estado U_I, las cotas son O(1/γ) en el caso esperado y O(γ⁻¹log(1/ε)) en el peor de los casos, siendo también óptimas en sistemas de (N+1) dimensiones bajo ciertas condiciones.

El método central de los algoritmos implica el uso de un filtro espectral de precisión constante para construir un purificador. Este purificador se compone secuencialmente durante un proceso de amplificación de amplitud, lo que permite preparar un estado con un solapamiento constante con el estado fundamental. El algoritmo de consulta esperada repite la preparación seguida de un filtro espectral de alta precisión hasta el éxito, mientras que el algoritmo de peor caso emplea filtros de precisión creciente, limitando el número total de consultas.