Investigadores han desarrollado un nuevo método para cuantificar la complejidad de preparación de estados en hamiltonianos cuánticos de $p$-espines densos, que operan sobre $n$ cúbits. Este enfoque va más allá de las limitaciones basadas únicamente en los conos de luz de los circuitos cuánticos, introduciendo la "complejidad de perfil efectiva" derivada de la entropía métrica de los perfiles de Pauli. Estos perfiles registran las expectativas de todos los operadores de Pauli que actúan sobre exactamente $p$ cúbits. Este avance permite una caracterización más precisa de la dificultad computacional para alcanzar ciertos estados cuánticos.

El estudio revela que las clases de estados con una complejidad de perfil efectiva cuadrática uniformemente acotada permanecen separadas de la energía del estado fundamental por un múltiplo positivo de $\sqrt{n}$ para valores de $p$ fijos y suficientemente grandes. Por debajo de la complejidad de perfil efectiva subcuadrática, la clase no puede superar a una clase de referencia adecuada en el orden principal, siendo los estados producto un punto de referencia universal. La demostración de estos resultados combina una adaptación de un teorema de de Finetti cuántico no simétrico con cotas de entropía de procesos gaussianos.

Aplicando este marco, se demuestra que alcanzar una energía cercana al estado fundamental requiere $\Omega(n^2/\log n)$ puertas de uno y dos cúbits, incluso con ancilas descartables arbitrarias. El trabajo también establece compromisos entre profundidad y anchura de circuito, cotas inferiores para el entrelazamiento-profundidad y la dimensión de enlace de estados de producto matricial. Asimismo, se identifican obstrucciones para ambas orientaciones en cada nivel fijo de la jerarquía de "magia" de Parham, con una anchura total del circuito de $O(n)$. Para la clase de primer nivel de magia inversa, donde un circuito superficial es seguido por un circuito de Clifford sin restricciones, las cotas también permiten un número arbitrario de ancilas limpias a una profundidad de circuito superficial fija. Un análisis más detallado indica que los circuitos Clifford+$T$ con $o(n)$ puertas $T$ no ofrecen una ventaja energética de orden principal sobre los estados estabilizadores de producto, incluso con operaciones Clifford ilimitadas y ancilas descartables arbitrarias.